材料:在进行《三角形面积》教学时，推导面积计算公式一般采用两种方法：一种是把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形（见图1）；另一种是利用三角形中位线剪拼...

问题材料:在进行《三角形面积》教学时，推导面积计算公式一般采用两种方法：一种是把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形（见图1）；另一种是利用三角形中位线剪拼成平行四边形（见图2-1）或折叠成长方形（见图2-2）。

问题：（1）试分析上述两种方法所蕴含的数学思想。（8分）（2）为指导高年级小学生学习上述内容，试拟定教学目标。（10分）（3）根据拟定的教学目标，设计新授部分的教学方案。（20分）

选项

答案

解析（1）两种方法都利用到了“转化思想”，进行知识迁移，化未知为已知。第一种，体现出了将两个完全一样的的三角形拼成一个行四边形的拼凑方法，将求三角形面积转化为之前已经学过的求平行四边形面积的方法；第二种，先利用“切割法”，再用“转化思想”，将求三角形面积转化为之前已经学过的求矩形面积的方法。（2）教学目标：知识与技能：通过观察操作，探索并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积，并能应用公式解决简单的实际问题；培养学生应用已有知识解决新问题的能力。过程与方法：使学生经历观察、操作、讨论、归纳等数学活动，培养观察、比较、推理和概括能力，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观念。情感、态度与价值观：数学从生活中来到生活中去，充分让学生体会到数学在生活中的作用。让学生在探索活动中获得积极的情感体验，体会学数学、用数学的乐趣。（3）教学方案教学重点：探索并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积，并能用公式解决相关的实际问题。教学难点:三角形面积计算公式的推导。新授部分教学过程一、自主学习，探索新知 1.尝试操作（1）提出操作和探究要求。让学生拿出课前准备的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，以小组为单位进行操作并讨论。老师提出如下操作和探究要求： A.同桌二人为一个小组，利用桌上的学具，能不能用两个完全一样的三角形拼成一个我们学过的面积计算的图形？ B.观察三角形和你转化的图形，找到它们的底和高之间的关系，推导出三角形的面积公式。【设计意图:学生由于有平行四边形面积公式的推导经验，必然会产生:能不能把三角形也转化成已学过的图形来求它的面积呢？从而让学生自己找到新旧知识间的联系，使旧知识成为新知识的铺垫。】（2）学生操作讨论，教师巡视指导。学生以小组为单位进行操作和讨论。教师巡视，及时了解学生在操作和讨论中存在的问题，并进行针对性地指导。【设计意图:不仅使学生找到了新旧知识的连接点与转化方式，而且使学生正确掌握操作方法，形成操作技能。】 2.学生汇报、交流在小组操作和讨论完成后，教师组织学生到前面汇报。（教师把学生的成果贴在黑板上）可以通过用锐角三角形、直角三角形、钝角三角形拼的三种情况分别进行汇报，要求学生能根据拼出的图形叙述出推导的过程。（学生在汇报时可能漏掉两者的底和高之间的关系，教师要及时提醒.）（1）通过实验，你们发现了什么？引导学生得出：只要是两个完全一样的三角形都能拼成一个平行四边形。（学生可能会忘记说“完全一样”这四个字，教师要强调。）（2）谁能说说，每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？（拼成的平行四边形是三角形面积的二倍。每个三角形的面积是拼成的平行四边形的面积的一半。）学生边汇报，教师边板书:平行四边形的面积=底×高三角形的面积=底×高÷2 提问：①为什么三角形的面积要“底×高”以后还要÷2? ②如果不除以2，“底×髙”求的是什么图形的面积？结论:我们在计算三角形的面积时一定不要忘了除以2。【设计意图:加深学生对三角形面积计算公式含义的理解底×高”表示用两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积；因为三角形的面积是拼成平行四边形面积的一半，所以要“÷2这样既突破了教学难点，更加深了学生对三角形面积计算公式的理解。】 3.教师小结学生汇报完后，教师进行梳理，引导学生认识到：两个完全一样的三角形拼成了一个平行四边形，一个三角形的面积就是拼成的平行四边形面积的一半。这个平行四边形的面积就是用底×高，因为两个三角形拼成了一个平行四边形，所以一个三角形的面积就是底×高÷2。并且平行四边形的底就是三角形的底，平行四边形的高就是三角形的高。 4.推导拓展师:对之前准备的三角形，你是如何通过一个三角形的转化来推导它的面积公式的？（留出空间，让学生探讨）生1：我是把一个等腰三角形对折，然后从中间剪开拼成了一个长方形，这个长方形的底是三角形的底的一半，高是三角形的高，因为长方形的面积是长×宽，长方形的面积等于三角形的面积，所以三角形的面积是底×高÷2。生2:我是把一个直角三角形的上面对折下来，然后剪开，把它补在一边，拼成了一个长方形。这个长方形的长是三角形的底，高是三角形高的一半，所以也能推出三角形的面积是底×高÷2。生3:我是把一个三角形沿着两边的重点对折，然后又把底边的重点这样对折，折成了一个长方形，这个长方形的底是三角形底的一半，宽是三角形高的一半，再乘以2，也可以推出三角形的面积是底×高÷2。师:这个方法怎样，谁来评价一下。学生评价，太棒了。生4:我还有一种办法。把一个长方形沿对角线折叠，因为长方形的面积是长×宽，长方形是两个三角形拼成的，所以，三角形的面积是底×高÷2。【设计意图:把探究的权利充分的交给学生，学生自由组合，利用已有的知识经验，通过折、移、拼、剪，得到了不同的图形，虽然是不同的角度、不同的手段、不同的方法，但达到了同一目的，得到了正确的三角形面积计算公式，更重要的是探究过程中学生的思维空间得到了拓展，思维个性得到了发挥。】 5.引导学生用字母表示公式如果我用S表示三角形的面积，a表示三角形的底，h表示三角形的高。那么三角形的面积用字母来表示是怎样的呢？ S=ah÷2（板书）刚才我们用拼一拼的方法得出来三角形的面积计算方法，那么有了这个面积计算方法，我们就可以很方便地解决一些实际问题。【设计意图:学生能够自主得出三角形的面积计算方法，但是叙述的过程比较杂乱。通过教师有效地梳理，不仅可以加深印象，还能注意一些易忽视的知识，培养学生的抽象概括能力。】二、运用知识，解决问题再次出示红领巾，提出问题： 1.我们要计算这条红领巾的面积，需要测量什么？ 2.估一估这条红领巾的底有多长？学生可能估出的值有50厘米，90厘米，100厘米（1米）。 3.现在你能计算出这条红领巾的面积了吗？你认为计算三角形的面积，什么地方容易出错？（强调“÷2”这一关键环节）【设计意图:这是一个基本练习题。由开始的红领巾面积导入，再由习题中的红领巾面积的解决，做到前后呼应。】三、课堂总结，深化提高 1.这堂课你有什么收获？今天我们分小组通过动手操作，相互讨论、交流，用摆拼等方法将三角形转化成学过的图形推导出了三角形面积的计算公式，这种“转化”的数学思想方法在我们的数学中非常有用，能帮助我们找到探究问题的方向，相信同学们今后能应用这一数学方法探究和解决更多的数学问题。 2.思考:怎样用一个三角形研究出三角形的面积计算方法？

材料:在进行《三角形面积》教学时，推导面积计算公式一般采用两种方法：一种是把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形（见图1）；另一种是利用三角形中位线剪拼...

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