“数列”是高中数学必修5的内容。《普通高中数学课程标准(实验)》要求学生能“通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型；在具...

问题 “数列”是高中数学必修5的内容。《普通高中数学课程标准(实验)》要求学生能“通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型；在具体的问题情境中．发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。” (1)请设计一道能用等比数列知识解决的实际问题并求解；(20分) (要求：给出问题情境；抽象出数量关系；建立数学模型；写出解答过程、讨论和反思。) (2)根据上面的问题情境设计一道开放题或探索题。(10分)

选项

答案

解析 (1)①创设情境，提出问题在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗 (设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点。) 师生互动：引导学生写出麦粒总数l+2+22+23+……+263。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。这时对他们的这种思路给予肯定。 (设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的无用功。急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑颀理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢在这个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形虞过程的氛围．突破学生学习的障碍。同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决目囊的新方法，为后面的教学埋下伏笔。) ②师生互动，探究问题在肯定他们的思路后，接着问：1+2+22+23+……+263是什么数列有何特征应归结为什么数学问题呢学情预设：探讨1：设S64=1+2+22+23+……+263记(1)式，注意观察每一项的特征，有何联系 (学生会发现，后一项都是前一项的2倍) 探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，(1)式两边同乘以2则有2S64=2+22+23+.....263+264，记为(2)式。比较(1)(2)两式，你有什么发现 (设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减’．在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章．从面抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。) 经过比较、研究，学生发现：(1)、(2)两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了。得到：S64=264-1.老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程。反思：为什么(1)式两边要同乘以2呢 (设计意图：经过繁难的计算之后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简单了!让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。) ③故事结束，首尾呼应最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1．84×1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽l0米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺。 (设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维。)④教学反思对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。 (2)引导学生将结论一般化，设等比数列{an}，首项为a1，公比为q，如何求前项和Sn 这里，让学生自主完成．并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。 (设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。)

再次追问：结合等比数列的通项公式an=a1qn-1，如何把Sn用a1、an、q表示出来 (引导学生得出公式的另一形式) (设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。)

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